Espaços Métricos

Autores

• Elon Lages Lima

Descrição

Este livro, vencedor do Prêmio Jabuti, é essencial para os estudos nos últimos anos de graduação em matemática. Os estudantes com noções de análise compreenderão melhor as aplicações da teoria dos espaços métricos. Elon Lages Lima apresenta a linguagem básica da topologia, conjuntos conexos, limite, e espaços métricos complexos e compactos.

São descritas as aplicações como a do teorema fundamental da álgebra, a existência de funções continuas sem derivada em nenhum ponto, a curva de Peano, o teorema de Picard sobre existência e unicidade de solução para equações diferenciais ordinárias, o teorema de Montel relacionado a famílias normais de funções analíticas, o teorema de Stone-Weierstrass e o cubo de Hilbert como espaço separável universal. Esses exemplos buscam mostrar a força e multifuncionalidade das teorias.

Conteúdo

1. Espaços Métricos
   1. Definição e exemplos de espaços métricos 
   2. Bolas e esferas
   3. Conjuntos limitados
   4. Distância de um ponto a um conjunto 
   5. Isometrias 
   6. Pseudo métricas 
   7. Exercícios 
2. Funções Contínuas
   1. Definição e exemplos 
   2. Propriedades elementares das aplicações continuas 
   3. Homeomorfismos 
   4. Métricas equivalentes 
   5. Transformações lineares e multilineares 
   6. Exercícios 
3. Linguagem Básica da Topologia 
   1. Conjuntos abertos 
   2. Relações entre conjuntos abertos e continuidade
   3. Espaços topológicos 
   4. Conjuntos fechados 
   5. Exercícios 
4. Conjuntos Conexos 
   1. Definição e exemplos
   2. Propriedades gerais dos conjuntos conexos
   3. Conexidade por caminhos
   4. Componentes conexas
   5. A conexidade como invariante topológico 
   6. Exercícios 
5. Limites 
   1. Limites de sequências 
   2. Sequências de números reais
   3. Séries 
   4. Convergência e topologia
   5. Sequências de funções 
   6. Produtos cartesianos infinitos 
   7. Limites de funções 
   8. Exercícios 
6. Continuidade Uniforme 
   1. Observações e exemplos
   2. Exercícios 
7. Espaços Métricos Completos 
   1. Sequências de Cauchy
   2. Espaços métricos completos 
   3. Espaços de Banach e espaços de Hilbert 
   4. Extensão de aplicações contínuas
   5. Completamento de um espaço métrico
   6. Espaços métricos topologicamente completos 
   7. O teorema de Baire
   8. O método das aproximações sucessivas
   9. Exercícios 
8. Espaços Métricos Compactos 
   1. Compacidade na reta 
   2. Espaços métricos compactos 
   3. Produtos de dois fatores, um dos quais é compacto
   4. Uma base para C(K; M)
   5. Caracterízações de espaços compactos 
   6. Produtos cartesianos de espaços compactos 
   7. Continuidade uniforme 
   8. Espaços localmente compactos
   9. Espaços vetoriais normados de dimensão finita
   10. Equicontinuidade
   11. Os teoremas de aproximação de Weierstrass e Stone
   12. Exercícios
9. Espaços Separáveis 
   1. Propriedades gerais 
   2. Espaços localmente compactos separáveis 
   3. O cubo de Hilbert como espaço separável universal
   4. O Teorema de Hahn-Mazurkiewicz
   5. Paracompacidade
   6. Exercícios 

Bibliografia 

Índice de Notações 

Índice Remissivo